L’anneau Z Et Ses Quotients

Un anneau est un ensemble A muni de deux lois de composition internes + et × telles que (A,+) est un groupe commutatif d’élément neutre noté 0 et la loi × est associative et distributive à gauche et à droite par rapport à +. Si × admet un élément neutre 1 on dit que l’anneau est unitaire. Si × est commutative on dit que l’anneau est commutatif. L’anneau des matrices d× d pour d ≥ 2 est unitaire mais pas commutatif. Les ensembles R et Z sont des anneaux. Soit A un anneau commutatif. Un idéal de A est un sous-ensemble non-vide I tel que (I,+) est un sous-groupe de (A,+) et AI ⊂ I . Par exemple 5Z est un idéal de Z. Si a ∈ A l’ensemble aA est un idéal souvent noté (a). Un tel idéal est dit principal. Tous les idéaux de Z sont principaux. Un anneau dont tous les idéaux sont principaux est dit principal. L’intersection d’une famille d’idéaux est un idéal. Si S est une partie de A alors le plus petit idéal de A contenant S est l’intersection de tous les idéaux contenant S. On le note (S). Si A = Z[X] alors l’idéal (2, X) n’est pas principal. La somme I + J de deux idéaux est par définition le plus petit idéal contenant I et J . L’anneau Z est principal. Cela se montre avec la division euclidienne. Si I est un idéal nonnul alors I = (a) où a est le plus petit élément positif de I . Une conséquence de l’algorithme d’Euclide étendu est le théorème de Bezout : si m et n sont deux entiers positifs il existe deux entiers u et v tels que ua + vb = pgcd(a, b). On en déduit le théorème de Gauss : si a, b, c sont trois entiers positifs tels que a divise bc et a est premier à b alors a divise c. On en déduit enfin le théorème fondamental de l’arithmétique : tout entier positif s’écrit de façon unique, à permutation près, comme produit de nombres premiers. Si A = Z et si m et n sont deux entiers positifs, l’idéal (m) + (n) est principal, engendré par le pgcd de m et n. L’idéal (m) ∩ (n) est principal engendré par le ppcm de m et n. Si A est un anneau commutatif et I un idéal, on définit une relation d’équivalence sur A par x ≡ y ssi y − x ∈ I . Cette relation est compatible avec les lois + et ×. Donc le quotient, noté A/I , est un anneau. Par exemple Z/5Z ou F2[x]/(x + x + 1). Plutôt que x ≡ y on écrit x = y mod I . Deux types de quotients vont nous intéresser. Les quotients Z/NZ et les quotients A[x]/f(x). Un élément de Z/NZ est représenté par un entier entre 0 et N − 1. Pour ajouter deux éléments a mod N et b mod N on calcule a + b et on retranche N si nécessaire. Pour multiplier, on calcule ab et on fait la division euclidienne par N . Le coût est O((logN)) avec les algorithmes classiques.